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有一个年轻人总是感觉自己拥有的知识非常少，很想找到一条学习的捷径，让自己很快就能领略到知识的奥秘。于是他到一座深山里去拜访一位智者。
这个年轻人很虔诚地向智者问道：“大师，请问我该怎么做，才能很容易就学会您所有的知识呢？”智者听后，笑了笑，反问说：“你认为应该怎么做，才能学会我所有的知识呢？”
年轻人思索了一下，“我想，如果大师能够一次教会我所有知识的关键，就能让我完全了解大师您所了解的事情！”
智者笑了笑，但他什么也没有说，只是在桌子上拿起了一个苹果，然后大大地咬了一口，过了一会儿，智者张开嘴把口中已经嚼烂的苹果，吐在了手掌上。
然后，智者把嚼烂的苹果拿到年轻人面前，对他说：“来，把苹果吃下去！”
小伙子很惊讶，甚至有些气愤，不满地说：“大师，您又开玩笑，这……怎么能吃呢？”
智者语重心长地说：“我咀嚼过的苹果，你当然不愿意吃，然而，你为什么又想轻而易举地汲取我知识的精华呢？难道你不知道，所有的学习必须经过本身亲自去咀嚼吗？”
要想获得苹果的甘甜，就需要自己亲自去咀嚼、体会；要想获得知识，也不能单纯地去寻找什么捷径。世上其实并不存在什么捷径，唯一的捷径就是自己不断地努力，没有任何人可以代劳。
很多人似乎都认为问题的解决存在“秘诀”，只要掌握了核心，就可以迅速搞定。其实学习是一个循序渐进的过程，没有什么捷径可走。我们只有认真学习、努力钻研，才能真正学有所成。
任何一个能力，背后都是有思考框架的，掌握了它，就可以超过大多数人。
对于等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，基本图形及性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1：
”、“45°好角辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸等诸多的套路需要我们在学习实践中反复体验，方能破解一些几何难题。
你要记住，无论学什么，努力都必不可少，而更关键的是，你得学会坚持，深度思考，用实际行动去证明自己的实力。
一、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o）
②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。
二、等腰直角三角形与全等三角形：
以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
三、相关模型
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形：
模型三：共顶点的等腰直角三角形中的手拉手
典型问题
例1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，CE＝7/4；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角形对应边成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的长，进而得出③正确；利用判定③正确的结论，通过分析AD的取值范围即可得出④正确．
变式1．如图，在等腰直角△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝BC＝10，点D是边AB上一动点，作∠EDF＝45°，两边分别交AC，BC于点E，F，则AE?BF的最大值为（ ）
变式2．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大B．一直减小
C．先增大后减小D．保持不变
过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，利用SAS证明△OBP≌△HCB，得OB＝CH＝4，OP＝HB，即可解决问题．
：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，
∵△CBP是等腰直角三角形，∴BC＝BP，∠CBP＝90°，
∴∠HBC+∠OBP＝90°，
∵∠CBH+∠HCB＝90°，∴∠OBP＝∠HCB，
∴OB＝CH＝4，OP＝HB，
∵∠ODC＝45°，CG⊥OD，∴△OCD是等腰直角三角形，
∴CG＝DG，∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8，
∴PD的长度保持不变，故选：D．
A．1B．2C．3D．4
由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝∠B＝45°，可得点E在过点C且垂直BC的直线上运动，
∴当OE⊥CE时，OE的值最小，即OE2的值最小，
∵AO＝1，AC＝3，∴CO＝2，
∵OE⊥CE，∠ACE＝45°，∴OE＝CE，
变式4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，∠EDF＝90°，连接BE，若∠CBE＝2∠EDA，CE＝6，则BE＝ ．
连接CD，EF，根据等腰直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD＝AB，∠ABC＝∠DCE＝45°，CD⊥AB，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，同理∠CDE＝∠BDF，根据全等三角形的性质得到BF＝CE＝6，延长FC至G，使CG＝CF，设∠EDA＝∠CDF＝α，则∠CBE＝2α，由∠ECF＝∠EDF＝90°，得到点D，F，C，E在以EF为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠CEF＝∠CDF＝α，求得∠CEG＝α，推出∠G＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到BE＝BG，设CG＝CF＝x，根据勾股定理即可得到结论．故答案为：10．
例2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（﹣2，0），C（a，b）为平面直角坐标系内一点，∠ABC＝90°，BA＝BC，则ab的值为（ ）
A．14B．﹣6C．﹣6或14D．﹣6或﹣14
讨论：当点C在x轴上方．作CD⊥x轴，OA＝5，OB＝2，由于∠ABC＝90°，利用等角的余角相等得到∠BAO＝∠CBD，然后根据“AAS”可判断△ABO≌△BCD，则BD＝OA＝5，CD＝OB＝2，于是C点坐标为（﹣7，2），得到ab＝﹣14；
当点C在x轴下方．作CE⊥x轴，与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE，得到BE＝OA＝5，CE＝OB＝2，则OE＝5﹣2＝3，所以C点坐标为（3，﹣2），得到ab＝﹣6．故选：D．
变式1．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4），过点B作直线l∥x轴，点P（a，4）是线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，使∠APQ＝90°．
（1）当a＝0时，则点Q的坐标是 ；
（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则OQ的最小值是 ．
变式2．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，则CE的长为 ．
变式3．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．
（2）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠FPE＝90°．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是 ．
（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．
∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，
∵在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．
∴∠AEB+∠DEC＝90°．
∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝°，∴∠AED＝90°．
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）如图，以点D为圆心CP长为半径作弧交AD于点F，以点C为圆心，DP长为半径作弧交BE于点E，连接EF，EP，FP．
∴点E、F即为所求；
（3）如图，当∠CAB＝90°，CA＝AB时，过点C作CF⊥AO于点F，过点B作BE⊥AO于点E，
∵点A（2，0），点B（4，1），∴BE＝1，OA＝2，OE＝4，∴AE＝2，
∵∠CAB＝90°，BE⊥AO，
∴∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，且AC＝AB，∠AFC＝∠AEB＝90°，
∴△ACF≌△BAE（AAS）∴CF＝AE＝2，AF＝BE＝1，
∴OF＝OA﹣AF＝1，∴点C坐标为（1，2）
如图，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点B作BE⊥OA，过点C作CF⊥BE
∵∠ABC＝90°，BE⊥OA，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，且BC＝AB，∠AEB＝∠CFB＝90°
∴△BCF≌△ABE（AAS）
∴BE＝CF＝1，AE＝BF＝2，∴EF＝3
∴点C坐标为（3，3）
如图，当∠ACB＝90°，CA＝BC时，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BF⊥CD于点F，
∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCF＝∠CAD，且AC＝BC，∠CDA＝∠CFB，
∴△ACD≌△CBF（AAS）
∴CF＝AD，BF＝CD＝DE，
∵AD+DE＝AE＝2
∴2＝AD+CD＝AD+CF+DF＝2AD+1
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