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我们日常生活中，很容易判断一个物体光滑不光滑。
比如圆弧的一段是光滑的。
三角形的顶点是不光滑的。
那这种感觉如何用数学来描述?
光滑不光滑在数学上有意义吗？
有呀，是好多微积分定理的基础。
镜面要求光滑给出一个函数的表达式
就可以画出这个函数的曲线。
那如何从一个函数的表达式判断出它的曲线是不是光滑的。
光滑不光滑是就一点来说的，
比如三角形，三个边里面是光滑的，三个顶点处不光滑。
具体地说，就是如何判断一个函数定义域内有没有不光滑点?
就是我们熟悉的导数了。
如果一个函数在一点，左导数等于右导数，那么这点看起来就是光滑的。
对于物体运动方程来说，
左导数，就是物体走到这一点以前的很短时间内的平均速度。
右导数，就是这一点以后的时间算的。
左导数就是
物体移动到一点前的时间间隔趋向无穷小时，根据极限算出来的导数值。
右导数，就是根据这个位置点对应的时间点后边的时间间隔算的。
为了方便叙述，
一般教材上，还把函数在一点左右导数相等这个事实，叫成在一点有导数，
或者叫成函数在一点是可导的。
三角形的顶点处，用解析式表达出来，
就是一个分段函数的分界点，
左右两边都是直线方程，
但是斜率不一样。
那左右导数就是不相等的。
一个三角形左右导数相等，
是微积分中很多定理的条件。
比如著名的罗尔定理
拉格朗日中值定理
法国出了很多数学家把一个等边三角形平放到平面直角坐标系上，
三角形左右两个顶点y值相等，
中间的顶点是最高点。
但是在左右两顶点间，没有导数零点。
为什么没有导数零点。
因为罗尔定理要求在开区间内可导。
但是，三角形是个分段函数，在顶点处，左右两边导数不相等。
所以罗尔定理不适用，最高处不是导数零点是对的。
我们人本来有的简单感觉，比如最高点，最低点，单调递增，凸凹性，光滑不光滑，是否有跳跃点，是否连续等。都可以通过微积分描述。
猫可以比人更快地处理视觉信息人脑的神经系统，应该可以进行类似微积分的潜意识计算，形成直觉。所以人本能的就有这些感觉。人脑潜意识里，还可以进行更复杂的计算，比如辨别不同频率的声音。这个对人很容易。如果数学上用傅里叶变换做，就比较复杂。现在人工智能上广泛应用的神经网络，就是想达到人脑潜意识处理信息一样的效果。
除了以上这些凸凹性，光滑性。还可以利用微积分进行曲率的计算。
赵州桥古代石拱桥修建石拱桥和窑洞的拱券时，就是用类似圆规画圆的方式画了一段圆弧。
画圆弧时，圆的半径越小，拱券的弯曲程度越大。
所以，可以用一个圆的半径标识一个圆的弯曲程度，称为曲率半径。
这个曲率半径，数字越小，圆弯曲程度越大。
所以就取它的倒数，叫成曲率，来标识圆的弯曲程度，曲率数字越大，圆弯曲程度越大。
直线的斜率是固定的。
可以把曲线一点周围的一小段曲线，当成直线，来研究它的斜率。当这段曲线无穷小时，这时候，这一小段曲线的斜率，就是曲线在这点切线的斜率。
也可以把一般曲线一点附近的一小段曲线当成一段圆弧，这段圆弧有自己的半径，当这小段曲线是直线时，可以把圆弧的半径理解为无穷大。这样对于曲线每一点，当曲线段趋于无穷小时，就可以计算这点的曲率半径和曲率了。
