古希腊人用圆规和直尺在图上解决几何向题。不管问题有多棘手，迟早都会屈服于这两个简单的工具。只有三个问题坚决不肯让人解决。首先是三等分角问题。
平分一个角很简单：
圆规转三圈，直尺画一条线。可三等分一个角就无论怎么画都不行了。其次是化圆为方问题，也就是根据已知的圆画一个面积相等的正方形。最后是倍立方问题，根据已知的立方体画一个体积是它两倍的立方体。第三个问题尤其令古希腊人烦恼。他们觉得倍立方不应该有什么困难，因为他们都已经会根据已知的正方形画一个两倍大的正方形了呀。只要以原正方形的对角线为边画一个新的正方形就行了。可到了立方体这儿，类似的办法就行不通了。其实这很好理解：要把立方体的体积加倍，就必须画一条线段充当新立方体的边，而要用圆规和不带刻度的直尺在原立方体上画出这样一条线段是不可能的。
直到很久之后的19世纪，学者们才证明了这是无解的。三等分角和化圆为方问题也是如此。
公元前4世纪的古希腊人自然不知道这一点，但他们已经开始怀疑了。
雅典学院的学者梅内赫莫斯是第一个大胆提出质疑的人，他坚定地把圆规和直尺抛在一边，转而开始研究圆锥曲线。没错，梅内赫莫斯最喜欢做的事就是用平面分割圆锥。后来的古希腊数学家阿波罗尼奥斯推广了他的方法，从一个圆锥中截取得到不同类型的曲线：若截面与圆锥底面平行，那么截面就是圆；若截面有点儿倾斜，那么截面就是椭圆；若截面穿过圆锥底面，形成的可能是抛物线或双曲线。这就是所谓的圆锥曲线。如果你想亲眼看到这些现象，只需往高脚杯里倒点儿酒，然后让杯子倾斜，观察酒面形状的变化即可。
后来，梅内赫莫斯正是凭借这些新发现的曲线才弄清楚了要如何改变立方体的边长来使它的体积加倍。解法就这样出乎意料地找到了！数学家们因此建立了一整套圆锥曲线理论——单是阿波罗尼奥斯一人就证明了差不多条定理，直到多年后的今天，人们都还在使用这套理论。
