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认识三角形-三角形三条重要线段
任务清单
1.理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；
2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；
3.对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用。
知识梳理
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
三角形的高的数学语言：
如图1-1，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
图1-1
注：▲2.标明垂直的记号和垂足的字母。
3.一个三角形有三个顶点，应该有三条高，如图1-2所示。
图1-2
特别说明：
图1-3
（1）三角形的高是线段；图1-3中，分别为AD、BE、CF。
（2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心（拓展）。
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部(图1-3中，ΔABC三条高AD、BE、CF均在ΔABC的内部)，三条高的交点也在三角形内部，（图1-3中，ΔABC三条高的交点为点H且在ΔABC的内部）；
图1-4(ⅱ)钝角三角形的三条高一条在内部(图1-4中，ΔABC三条高BF在ΔABC的内部)，两条在外部(图1-4中，ΔABC三条高AD、CE均在ΔABC的内部)，且三条高的交点在三角形的外部（图1-4中，ΔABC三条高的交点为点O且在ΔABC的外部）；
图1-5(ⅲ)直角三角形的三条高，两条在边上（如图1-5中，AB和BC），一条在内部（如图1-4中BD），三条高交于直角顶点处（如图1-5ΔABC三条高的交于点B）。
图1-6归纳：
1.三角形的三条高的特性：
2.(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：
一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)；二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)；三画线(画垂线段)，如图1-6所示。图1-6
(2)高是线段，垂线是直线。
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线。（或三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线）如图1-7，AE是BC边上的中线。图1-7三角形的中线的数学语言表达：
(1)AE是△ABC中BC边上的中线。
(2)点E是BC边的中点。
(3)BE＝EC或BD＝?BC或EC＝?BC或BE＝EC＝?BC。
注：
图1-8
(1)三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分，即等底等高的两个三角形的面积相等，如图1-8。
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).
注：
（1）三角形的角平分线与角的平分线的区别是：
“角的平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”是一条线段。它们的联系是都是平分角。（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心（拓展）；
（4）可以用量角器（最简便）或圆规画三角形的角平分线；
（5）三角形的角平分线判别的“两种方法”
①看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分。
②看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶点，另一个端点要落在对边上。
上面的知识你学会了吗？快来检验一下吧
1.在图中分别画出三角形BC边上的高。2.如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝4，CD＝2
（1）请画出AE，CD；（2）求△ABC的面积；（3）若AE＝3，求BC的长。
3.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，若AB＝6cm，BC＝5cm，请你求出△ABD与△BDC的周长之差。
6.如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）
（1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF。答案
1.提示：根据三角形BC边上的高即为过点A向BC作垂线，利用直角三角板进行作图即可得出答案。
解：
小结
今天的知识你学会了吗？
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