这日本文的目标是引见一下阿基米德螺线的应用，而不是议论二千四百年前古希腊人提议的若干三大做图题目之一：用圆规与直尺三均分肆意角。
尺规三均分肆意角题目的难处在于做图应用功具的束缚。古希腊人请求若干做图只许应用直尺（没有刻度，只可做直线的尺）和圆规。这题目曾吸引着很多人去协商，但都无一胜利。年凡齐尔（－）袭用代数法子证实了，这是一个尺规做图的弗成能题目。
但是可惜的是，时至昔日，尚有不少中高足和其余人（很有意味性的是：个中没有大高足协商生），宣称他们治理了用尺规三均分肆意角的题目（不过他们没有一个去陈诉专利之类的东西），这只解释他们不理解甚么是数学，甚么是必要的数学体制和数学证实。实际上，他们对命题的前提都没有搞懂得。
所谓“用圆规与直尺三均分肆意角”：是用没有刻度的直尺和圆规将一个不晓得巨细的角三均分，在做图的经过中不容许将直尺上的某个点在图上滑动。
假设放宽束缚，早在阿基米德功夫，阿基米德本身就曾经“治理”了这一题目。那时，阿基米德用在直尺上做牢固记号的法子，治理了三均分一角的题目，进而肯定了亚历山大城郊一座别墅北门的场所。恰当众人褒扬阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个肯定北门场所的法子当然可行，但但是权宜之计，它是有缺陷的。”阿基米德所谓的缺陷即是在尺上做了记号，等因而做了刻度，这在尺规做图法则中是不容许的。
尚有，有很多特别角是能够用尺规三均分的，然而即是由于“特别”，因而那些法子对“肆意角”失效。
只需放宽尺规做图的束缚前提，那末三均分肆意角是能够的。譬如应用某些螺线，特为是阿基米德等速螺线，就可以治理这一题目。
详细法子以下：
1.将某肆意角放到极坐标系中，使角的的顶点与顶点O重合，使角的始边OA在极轴上。在极坐标系中做一条阿基米德等速螺线ρ=aθ，a=10（可取肆意实数）使之与角的终边订交，设该交点为B,如图1所示。在实际做图中，能够把顺次反过来，先应用Excel图表做出阿基米德螺线，调换横纵坐标刻度，使之不畸变，打印在做图纸上，而后再将角做到极坐标系中去。
图1
2.过点O引射线OR,如图2所示
图2
3．过O点，在射线OR上，用圆规截取OP＝PQ＝QR,连贯RB,离别过P、Q做RB的平行线，交OB于M、N，则M、N将OB三均分，即OM＝MN＝NB,如图2所示：
图3
4．以O为圆心，以OM为半径做弧，交螺线于E；以O为圆心，以ON为半径做弧，交螺线于F,如图4所示：
图4
5.链接OE、OF,则∠AOE＝∠EOF＝∠FOB＝(∠AOB)/3,即OE、OF将肆意角∠AOB三均分。
图5
由于阿基米德螺线ρ＝aθ为等速螺线，依据界说，动点沿动射线OA用速度v做等速度直线疏通的同时，这条射线又以等角速度ω绕点O扭转做等角速度圆周疏通，两项疏通的功夫都为t，则：
动点沿动射线OA用速度v做等速度直线疏通，则ρ＝vt…………………(1)
而同时，射线OA又以等角速度ω绕点O扭转,则θ＝ωt…………………(2)
设B点的极坐标为（ρ，θ），动点从O点抵达B点的功夫为t,
一样，设E、F点的极坐标离别为（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2），动点从O点抵达F、F点的功夫离别为为t1、t2.
∵OM＝MN＝NB，并且ρ1＝OE＝0M＝ρ/3,
∴ρ1＝ρ/3,将（1）式代入
即得ρ1＝(vt)/3＝v(t/3)＝vt1
∵v＝v
∴t1＝t/3。
也即是说，动点顺着射线做匀速直线疏通从O点抵达E点所用的功夫为t/3，是动点顺着射线做匀速直线疏通从O点抵达B点所历功夫t的三分之一。
而思量匀速圆周疏通:
θ1＝ωt1＝ω(t/3)＝(ωt)/3＝θ/3
即∠AOE＝(∠AOB)/3
同理可证得t2＝2t/3，进而证得θ2＝2θ/3，因而有
∠AOE＝∠EOF＝∠FOB＝(∠AOB)/3
即OE、OF将肆意角∠AOB三均分。
应用阿基米德等速螺线治理三均分肆意角题目,仰仗等速螺线的界说,引入了参变数——功夫t,动点从O点疏通到E点的直路线程ρ1是全程ρ的三分之一，推知所需功夫也是全程功夫的三分之一，进而动点地址直线OA扭转到OE的功夫也是整个扭转功夫的三分之一，因而所滚动的角度也是整个扭转角的三分之一。
上头主借使想引见阿基米德螺线的袭用，熟习该螺线的界说。原来假设放宽尺规器材束缚前提，阿基米德本身早就治理了三均分肆意角的题目。
以上各图均在Excel中做成，保存一切网格线和直角坐标轴，以供参考。
附录：对于阿基米德并非应用尺规三均分肆意角的详细做法以下：
①在直尺边沿上标上两点B、C。设所要三均分的角是∠POQ。
②以O为圆心，BC长为半径做⊙O，交PO伸长线于A；
③把直尺的边靠着A点，适本地挪动直尺，使直尺上的C点在OQ上挪动，并且当B点同时挪动到了圆周上时，A、B、C在统连续线，连贯A、B、C。
④连贯OB。设∠POQ＝α，∠OAB＝β，∠COB＝γ。
∵OA＝OB＝BC，
∴∠OBA＝∠OAB＝β，∠OCB＝∠COB＝γ
而∠OBA＝β＝2γ（外角）…………………………………………………（1）
β＝∠OAB＝（α+γ）/2(圆周角与同弧上的圆心角)………………（2）
由（1）、（2）可得2γ＝（α+γ）/2
即γ＝α/3
因而有：
⑤过O点做OE∥AB,交⊙O于E，过O点做∠EOP的中分线，交⊙O于F，则OE、OF将∠POQ三均分。
由于只波及到平行线的内错角和角中分线，较量容易，着末的OE和OF未在图上做出。
然而，这不是真实的“尺规三均分肆意角”，正如阿基米德本身所说“它是有缺陷的。”——缺陷即是在尺上做了记号B、C，等因而做了刻度，并且把直尺的边靠着A点挪动，使直尺上的C点在OQ上挪动，使B点挪动到圆周上，……，等等，这些在尺规做图法则中是不容许的。
由于应用的器材已不限于标尺，并且做图法子也与公设不合，是以，云云的做图是严峻违规的，并不能称为“尺规三均分肆意角”。
*文章摘自OldShu的博客
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