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只用圆规作图
能用圆规和直尺作出的图形，只用圆规也可以作出。当然，除不能真实画出直线外，其他都可以做到。
比如，作出两个给定点A和B的中点。
在尺规作图中，我们一般是这样做的：连接A和B两点，得到线段AB。再分别以A和B为圆心作圆，得到两圆的两个交点。用直尺作过这两个交点的直线，则直线与线段AB的交点就是线段AB的中点。
那么，如果我们手头没有直尺我们还能否作出点A和点B的中点呢？答案是肯定的。作法如下面视频所示：
注：（1）上面的作图过程是用几何画板来代替真实的圆规作图，其中度量出A和B两点之间的距离，并在后面做圆时把它当成半径，就相当于把圆规的两个脚对准两个点来定半径；（2）C点是把AB延长一倍后得到的端点；（3）整个过程全都是在作圆。（4）上述过程，用到了“反演点”的概念。反演点的意思是：有一个圆，圆心是O，半径是r。有一个点P，那么点P的反演点就是一个与P在O的同一侧的另一个点P,使得OP·OP=r^2（r的平方）。于是，本题中，我们先把AB延长一倍到C，那么，C的反演点就是AB的中点D了。也就是AC·AD=（2AB）（0.5AB）=AB^2。下图显示D是C的反演点的证明过程：
总结：
1）我们可以不把线段画出来，也不用作延长线，也能找到延长任意倍后的端点；
2）我们不画出线段也能找到线段的中点；
3）我们甚至可以只知道直线上的两点A和B，再知另一直线上的两点C和D，而根本不画出直线，就可以作出这两条直线的交点；
4）我们可以只知道直线上的两点A和B，再知道一个圆，就可以作出直线和圆的交点。
有关“反演点”的概念及更加深入的研究，可阅读《什么是数学——对思想和方法的基本研究》，一本非常棒的书，其中包括了许多闪光的数学珍品。爱因斯坦评价本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透澈清晰的阐述。”
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