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武侠版解题分析《名题论解现挑战，各显神通》
这天，数理学院的辩论堂人山人海，几乎全院所有学生都齐聚于此，大厅内的辩台上，一位身着黑衫的学生，正在展示一道帛书。贺鬼头和马小虎偷偷摸到厅内一个不起眼的角落，远远望去，原来帛书上是一道数学题。
学院的“名题论解”大赛每年一度，参赛者收集全国各地数学题，或改编或原创，在赛场上展现解题技巧，相互较劲，优胜者会被学院奖以“优解生”称号以及不菲的奖金。而那位黑衫学生，显然是以挑战者身份向上一届优解生，伊恒先生座下大弟子全等挑战，这全等是伊恒先生所收等字辈中，悟性最高的学生，此时身着白衣，眼睛瞪着那道帛书，手中的炭笔不停在石板上写划，头上白气渐渐腾起，良久，未见解开，显然遇到了困难。
马小虎感到不可思议，要知道伊恒先生乃学院全等高手，精通各类全等三角形的构造与证明，同时代数恒等变换造诣极高，到底是什么样的题目能把他的大弟子难住？
贺鬼头仿佛听到马小虎的嘀咕，不屑地说：“你急什么？伊恒先生都不担心，在闭目养神呢！”
果然，马小虎顺着贺鬼头所指，只见伊恒先生似乎完全没察觉到全等的囧态，静静地坐在主席台正中。
突然，主席台上，坐在伊恒先生左侧的方圆大师发话了，“全等，你且将此题展示全院吧！”
贺鬼头叹了一口气，对马小虎说：“看来方圆大师也认为全等没办法解决这个难题了，那位挑战者恐怕会赢。”
话音未落，坐在主席台最右侧的一位老婆婆发话了：“大师且慢，我看全等似乎被名利所困，不过尚能思考，不妨多等一刻。”
马小虎顺着声音望去，只见那老婆婆身着紫衣，双目有神，最奇怪的是头上的簪子，似方似圆，古怪得很。
旁边的贺鬼头低声说：“那是形影婆婆，似是而非学派的掌门，精通相似三角形的构造与证明，对比例式的变换使用已臻化境，恒等变换之功力恐怕不在伊恒先生之下。不过婆婆说得极是，全等太在乎优解生这个称号了，一旦有了心魔，解题功力便会受影响。”
马小虎正待细问，却见那黑衫学生向着台上三位宗师一拱手，朗声说道：“在下余角，今日所呈之题，是我数日前偶得，久闻数理学院优解生大名，特来一会，只恐三位先师出手也未必……”
语音未落，便引得台下众学生一声躁动，便有人高声叫道：“余角！休得狂傲！”
就连贺鬼头也连连摇头，“这余角实在太猖狂了，须知我院伊恒先生，自幼浸泡在全等三角形游戏中，被前辈极为严厉地训练代数恒等变换和基本计算，造就了一身过硬的数学基本功，再加上颇有天分的找全等的眼光，被江湖称为“南神眼”。便是旁边的方圆大师，也非等闲之辈，大师尤其擅长解圆类几何，同样精通代数，其徒手作圆，与用圆规无异，精准美观，几何图形绘制根本不用工具，随手作角，要多少度有多少度，几何教材中的图形其实是他徒手画的，包括函数图象，尤其擅长与圆有关的几何题，被江湖称为“北妙手”，还有那形影婆婆，虽然她的学派主攻相似图形，但对全等的钻研，只怕不逊色于伊恒先生，今日怕是有好戏看了。”说罢，便直勾勾盯着台上那道帛书，想看清是道什么样的题目。
余角刚说得半句，便被打断，他也不恼，好整以暇地走下台，对尚在苦思之中的全等说了声得罪，便直接从他面前端起那道帛书，双手一展，那帛书瞬间发出金光，照耀全场，隐隐在金光之中，帛书中的字也一个个慢慢升入半空，整个大厅的人都能清晰地看到那题了：
已知：如图，△ABC中，D是BC边上一点，∠ABC=∠ACB=∠DAC，点E满足AD=AE，1/2∠EAD+∠EBD=90°，求BE:ED的值。
此时伊恒先生终于发话了，但却是对全等说的，“全等，你且将你的思路解说一二，看困在何处？”
全等此时已是大汗淋漓，顾不得擦，转身一躬，说道：“弟子无能，试图构造全等三角形，尝试了两种变化，依旧不得要领。”说完，也是双手一展，口中念念有词，金光之中，又出现了一幅图形：
他继续说道：“学生依法将BE截取至ED上，使BE=DF，从而构造出△AEB≌△CDF，只需证明AF⊥ED，便可得到结论，猜想是1：2的关系，受困于垂线的证明。而若作AF⊥ED，则全等条件不可得，故此未能求解。”
伊恒先生点点头，“短短一刻钟时间，你便已经想到构造全等，并且找准基本思路，也不枉我平日调教，但是垂线之证明，即直角之证明，需要理解题中各角之间的等量关系，需要进行代数推导，你于几何辨图识图颇有天分，但却疏于练习代数基本功，故有此难，你且退下吧！”
全等向伊恒先生一鞠躬，缓缓退到台下，也不敢坐，只是肃立，等着伊恒先生下文。
伊恒先生接着对余角说：“后生可畏，此题你为何认定他无法可解？”
余角面对伊恒先生时，态度却与刚才截然不同，恭敬地说：“先生，此题学生也曾研究再三，认为唯有全等学派，方可得解，故此向全等师兄挑战。”说完，眼角斜瞟了一下方圆大师和形影婆婆，却见二人脸色如常，深不可测，心中一凛，也不再多说。
只见伊恒先生弹了弹面前的炭笔灰，轻吹一口气，纷扬的灰尘顿时如同着了魔一般开始变幻形状，附着在金光中的图形上，而随着粉尘变幻，伊恒先生开始高声讲解，台下以全等为首，大气不敢出，静静观看。
“且看图中所给特殊三角形，共计有四个等腰三角形，△ABC、△ADE和△ACD直接由已知条件得出，而刚刚证明的△AEB≌△CDF则可得到等腰△ACF。”
“三角形内的角度关系，最基本莫不过内角和为°，而在等腰三角形中，顶角+2底角=°，将这个等式减半，可得1/2顶角+底角=90°，全等，你可曾想到？”
伊恒先生虽是对着全等说，但台下所有人均听得清清楚楚，马小虎也似懂非懂地点了点头，贺鬼头却是神情专注盯着那变幻的粉尘，口中不自由主地说：“这是很显然的事情，要证明垂线，肯定是要找直角的。”
接下来，便是一连串令普通学生眼花缭乱的恒等变换：
∠AFD=∠AFC+∠DFC
=90°-1/2∠ACF+∠EBA
=90°-1/2(∠ACB-∠DCF)+(∠EBD-∠ABC)
=90°-1/2∠ACB+1/2∠DCF+∠EBD-∠ABC
=90°-1/2∠ACB+1/2∠EAB+(90°-1/2∠EAD)-∠ABC
=°-1/2∠ACB-∠ABC-1/2(∠EAD-∠EAB)
=°-1/2∠ACB-∠ABC-1/2∠BAD
=°-1/2(∠ABC+∠BAD)-∠ACB
=°-1/2∠ADC-∠ACB
=°-1/2(∠ADC+2∠ACB)
=°-90°
=90°
当最终那个90°出现在半空中时，其余粉尘慢慢隐去，全场一片寂静，半晌，才有人悠悠来了句：“如此繁复的变化，怕也只有伊恒先生本人才推导得出来。”
伊恒先生仿佛没听到似的，长袖一挥，空中粉尘再度变化，被一股真气驱动着，∠BAC被红色的4x取代，而∠EAB被红色的2y取代，几乎所有学生都明白，这是全等学派的整体设元大法，看来伊恒先生是要用较简单的推导来取代刚才的复杂过程。
设∠BAC=4x，∠EAB=2y，则∠DAC=∠ACD=∠ABC=90°-2x
∠EAD=4x+2y-(90°-2x)=6x+2y-90°
∠ADE=90°-1/2∠EAD=90°-1/2(6x+2y-90°)=°-3x-y
故∠ADE=∠AED=∠EBD=°-3x-y
∠ABE=∠DFC=∠EBD-∠ABC=°-3x-y-(90°-2x)=45°-x-y
∠ACF=∠ACB-∠DCF=90°-2x-2y
∴∠AFC=90°-1/2(90°-2x-2y)=45°+x+y
∴∠AFD=∠AFC+∠DFC=(45°+x+y)+(45°-x-y)=90°
∴AF⊥ED
终于，马小虎轻叹，我明白了，比值是1：2。剩下的证明，显然无须多讲。
伊恒先生扫视全场一眼，已然不再有疑惑眼光，缓缓转身，回到台上，空中的粉尘也随之纷纷落下，汇集于另一块石板之上，渐渐凝聚。
余角在一边冷冷地看着伊恒先生推演，不发一言，嘴角却浮现出一丝笑容，待伊恒先生坐定，才对台上一揖，说道：“伊恒先生所推导过程，自是妙法，尤其是整体设元大法，令学生大开眼界，只是如此精妙的算理，连全等大师兄都未能悟透，其余师弟，只怕更难明白，贵学院如此教学，成才能有几何？”
这已经是赤裸裸的对伊恒先生教学的挑衅了，贺鬼头脸色大变，连马小虎都蠢蠢欲动起来。
却听一直端坐的形影婆婆厉声道：“休得无礼！”只见她拔下头上那根金簪，便开始在空中虚画，六十多岁的身形，丝毫不见停滞，而空中原本被余角展示用的那片金光，瞬间又增大不少，原先的题目图形，却被置于中间。
此时，形影婆婆方才对全等说：“你作为全等学派大师兄，用全等思维解题也属平常，可变换不精，可有此事？”
全等忙应道：“正是，想是学生才疏学浅……”
未说话，便被形影婆婆打断，“哼！确是如此！有自知之明便好！”
全等羞愧不已，婆婆却不再理会，径直对余角说：“我院学生，术业有专攻，此题解法，倒也不必限定非全等不可，你说是也不是？”
余角躬身道：“正是，莫非婆婆打算施展似是而非大法来破解此题？”
形影婆婆也不答话，金簪继续随手画出，原先的图形中，出现了条三条辅助线。
贺鬼头一眼便看出辅助线作法，他小声对马小虎说：“婆婆是在点D处作∠BDH=∠EBD，然后延长BE后相交于点H，再连接AH。”
马小虎却似懂非懂地点了点头，然后猛得醒悟，“方才全等师兄已经证明了∠EBD=∠ADE，那么△HBD肯定与△AED相似了？”
贺鬼头赞许地看了看马小虎，转过脸去望台上的婆婆继续推演。
“想必你也能看出，△HBD∽△AED了？”婆婆对余角说道，不等他回答，便继续说道，“由相似可得BD:ED=HD:AD，而它们，恰好又是另一对相似三角形的对应边。”
说罢，在金簪指引下，比例式变幻成BD:HD=ED:AD，婆婆对余角说：“以你之功力，想必应该能看出∠BDE=∠ADH吧？”
余角哪敢示弱，连忙应道：“正是，∠BDH=∠EBD乃婆婆所作，而全等师兄已证∠EBD=∠ADE，它们均减掉中间的∠EDH，便得婆婆所说两个等角。”
形影婆婆暗暗点头，嘴上却不留情，“如此便好！后生且看仔细了”。
“△BDE∽△DHA，则其对应角尤需仔细，∠EBD=∠AHD，再加上∠EBD=∠BDH，则可得∠BDH=∠AHD，这便意味着AH∥BC。”婆婆继续说道，全等已是呆了，口中喃喃自语，“原来如此，相似与平行，得一必有二。”
马小虎在台下却是不解，悄声问旁边的贺鬼头：“喂，平行有什么用啊？”
贺鬼头却冷不丁一拳过来，“笨死了！过点A和H往下作垂线便能看出来了。”
果然，形影婆婆以金簪在图中A、H处向下划，图中出现了两条垂线段。
马小虎定睛一看，作完垂线之后，AN与HM均为等腰三角形之三线合一，于是BN=1/2BC，而BM=1/2BD，同时还顺便构造出矩形ANMH，也不由得称了一声妙，AH=MN=BN-BM=1/2(BC-BD)=1/2CD=1/2AD，这一串等量关系，便是马小虎也能看出一二了。他略带得意地对贺鬼头说：“我知道了，婆婆如此作图，是为了引出AH=1/2AD，从而用相似转移到另一个△EBD中，得到BE=1/2ED对吧？”
贺鬼头满脸鄙夷地看了下他，也不回应，算是默认。
余角一脸惊诧地看着形影婆婆完成整个推演，他原本是以为题目中涉及到等量关系较多，代换较为复杂，因此一上来就挑战全等这个优解生，以便引出伊恒先生的整体设元法，而无论是等量代换异或整体设元法，非全等学派的学生难免会感觉无比繁复，没料到伊恒先生功力深厚，整体设元后，角度思路十分清晰，在场学生并无不适，那时便已暗暗失望。再看到形影婆婆以似是而非大法，巧妙运用相似三角形解决了1：2的问题，已然萌生退意，这次挑战虽然令得全等颜面尽失，但学生对伊恒先生全等学派，反倒更见佩服。
他正待上前告辞，才抬脚，便听左首方圆大师发话了。
方圆大师微睁双眼，看了一眼欲告辞的余角，又看了一眼正坐回座位的形影婆婆，目光扫过一边的伊恒先生，最后落定在台下站立不安的全等身上。
“全等方才可是说，作AF⊥ED之后，全等条件不可得？可否想到换一对三角形全等？”
全等惊讶地抬起头，连余角也不由得收回抬起的脚，重新站定，面对方圆大师。
全等呆了一会，心知宗师下问，不能有误，只好拿过刚才演算的石板，恭恭敬敬双手捧着，送到方圆大师面前。
方圆大师抬手，在石板上凌空画了一笔，又转了一个圏，与此同时，半空金光中的图形，也凭空多出了一个圆，一条线。
余角目瞪口呆地看着空中的图形，半晌说不出话来，全等则死死盯着那幅图，仿佛在绞尽脑汁。
伊恒先生和形影婆婆意味深长地看着图形，同声赞到：“大师果然高见！”
马小虎怎么也看不明白，连贺鬼头也是万分疑惑，倒是台前站立的全等和余角二人，神色仿佛是明白了。全等正欲解说，却见余角一摆手，对他说：“此节因我而起，现对贵学院学术，十分钦佩，就由我来解说分明吧！”
全等迟疑地望了望伊恒先生，又看了看方圆大师和形影婆婆，见三人并无异议，于是一拱手，道了声有劳，便退到一边。
余角走到那石板前，开始推演。
“全等兄所作垂线，在△AED中属三线合一，可得点F为ED中点，因此只需构造出与△AFD全等的三角形即可，若依照先前所思，过点E再作垂线，难免会找不到全等条件，因此大师之意，是干脆截取BG=AD，再连接EG。”
说到此处，余角稍作停顿，眼角瞥向方圆大师，见后者依旧垂目不语，方才继续。
“如此，则△ADF与△GBE，有BG=AD，∠EBD=∠ADE两个条件可用，此为全等二缺一。而缺少的条件，便可看出大师所作之圆的妙处了。”
马小虎忍不住小声问贺鬼头：“为何这个圆A恰好经过E、D、G？”
“为何圆A经过E、D、G？想必许多同学此节未能想明白，不妨观察△ABD与△ACG，显然它们是一对全等三角形，于是可得AD=AG，再加上AE，总共三条线段相等，而它们恰好一个端点均为A，因此可断定E、D、G三点都在圆A上。”
贺鬼头回头瞪了马小虎一眼：“到定点的距离等于定长，不是圆又是什么？！”
“诸位且看，∠EGB在圆中，是圆周角，而∠EAD在圆中，则属圆心角，它们所对的弧均是弧ED，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，可知∠EBG=∠DAF，于是△ADF≌△GBE，得到DF=BE，故此结果为1：2.”
说完，向台上三位宗师长揖到底，说了句告辞，又向全等道了声得罪，便头也不回，走出了大门。
后记：
原本是打算写一题三解的普通文章，可是纠结于这类解题文章学生一般很难有兴趣，于是萌发换个“马甲”的想法，限于本人文笔，写不出网络小说那种意境。人物刻画生硬，描写浅薄，敬请谅解。
此题可用于八年级全等三角形的训练，而难点在于第三个全等条件的获取，而全等三角形构造过程中，如何作辅助线，则直接决定了思路能否畅通，截取，通常是构造全等的不二法门。同样在九年级学习了相似和圆之后，它又能适用于新的方法，一道题，能容纳三种不同的思维，实在是好题。
