这次我们要说的，是关于尺规作图经典问题之——
正17边形与费马素数！
1、费马素数的诞生
大家还记得我们上一期推送中提到的梅森素数吗？
形如
（p∈N）且Mp为素数的数，就是梅森素数。
类似地，形如
的数（n∈N），被称为费马数；当Fn为素数时，它被称为费马素数。
大家可能会问，这类奇奇怪怪的数，
为什么会被数学家们研究呢？
实际上，数学家们研究这类奇奇怪怪的数，是想解决一个“奇奇怪怪”的问题：
如何给出一个能够构造所有素数的公式？
（素数普遍公式）
要知道，素数可谓人们熟知的有最明确定义却最没有规律的数了。可以说，谁要是给出一个能够构造所有素数的公式，谁就是数学之神！而即便是谁要是给出一个能够构造部分素数的公式，这份功劳也不亚于证明哥德巴赫猜想！尽管如今的人们可能认为这是一个无用的问题，但在17世纪古典数学兴盛的年代，这类如此纯粹的问题总是令人陶醉。
这时，业余数学家中最专业的数学家费马（PierredeFermat，-）也对这个问题产生了兴趣。他惊喜地发现，在n=0，1,2,3,4时上述的费马数均为素数——
费马是如此的高兴，他断言：
费马数一定是素数！
然而……在他去世67年后，在哥德巴赫把这个猜想拿给欧拉看后，25岁的欧拉便给出了这样一个分解：
F5=×
从此，费马的这个猜想便成为了他众多猜想中唯一的错误的猜想……
就在人们渐渐把费马数遗忘掉的时候，费马数却又奇迹般地在人们心中复活了。这就不得不提到另一个数学大牛——高斯。
2、正十七边形传说
数学家们通常都有一种对纯粹的偏执，例如，他们作图时总是要求尽量少用作图工具，并且工具要尽量简单。简单，就产生了美感。这就产生了尺规作图：
用无刻度的直尺和圆规作图
可是，这样一来就会产生一些不可能用尺规作图实现的作图问题。最著名的莫过于三大几何不可能问题：倍立方、化圆为方、三等分角。当然，在高斯以前，比较著名的问题还有：
如何用尺规作图，画出正n边形？
无数数学家为之着迷而叹息——阿基米德在遗憾中逝世，牛顿未能给出任何方法……
年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”
导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”
这位青年就是数学王子高斯。
他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
然而……
这个故事只是传说，无法考证……
但是，他确实很用心地研究了这一问题。后人所能考证出来的是，在他决心成为一名数学家那天（年3月30日），他所记录的问题就是：
圆的分割定律：如何用几何方法将圆十七等分？
并且……在当天，他确实给出了作法……
但是，他觉得……
这不够完美……
于是他没有发表这个作法……
以至于具体画法要到年才由约翰尼斯·厄钦格（JohannesErchinger）给出……
最终，年，高斯在《算术研究》中给出了可用尺规作图的正多边形的充要条件：
尺规作图正多边形的边数必须是2的非负整数次方和不同的费马素数之积。
高斯，大学二年级，解决了两千年来悬而未决的难题。
费马数，因此获得了全新的生命力。
3、正n边形作法与费马素数
现在，就让我们也来画一画正17边形吧！
这看似一个不可能完成的任务，
但是，
其实我们每个人都可以想到哦~~
大家还记得正5边形的画法吗？
画出正5边形，关键就是得到下面这条式子：
因为我们尺规作图所能画出的角，就是三角函数值能用二次根式及其组合表达的角！
这就启发我们去试图求解cos(2π/17)——
让我们来疯狂地算一把吧！！！
总结一下，最终结果是：
以下是一个小GIF：
大家不妨跟着画哦~~
还有，很多人说这个动图太快了，看不懂（只觉得好厉害），那现在分享一下现代数学家H.W.Richmond的画法吧！（这个真的可以自己动手画的哦）
第一步：给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45°
第二步：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
第三步：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
via：星云风暴
由此亦可以猜测：
这样，我们便画出了正十七边形。
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