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第三章定理与公理

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公元前4世纪,亚历山大大帝在出征亚洲的时候,也带上了几个皇家测量员,这些人随行在浩浩荡荡威武的军队中,一直跟随亚历山大帝走过征服之地。这些长达数千千米的路程,都是由这些步行者们一步步脚踏实地测量出来的。

假设,现在让我们将视角上升到一定的高度,你就会发现这样一个奇怪的情景,这些男人们,踏着韵律的节拍,一步步地穿越美索不达米亚北部的高地,沿着干旱的土黄色西奈半岛一路向前,最终抵达了尼罗河流域两岸富饶肥美的土地。然后又掉头折返,慷慨激昂地向波斯帝国绵延不断的山地和现如今阿富汗地区的打磨行进。

岁月无痕,即使转身回眸,这样的场景让人内心激荡不已,这些皇家测量员们做出的事情看上去是如此的荒诞可笑。然而,他们得到的结果却是非常准确的!他们测量得到的结果,与我们今天所知的实际记录,误差不超过5%!

两个世纪之后,在埃及,来自古希腊的学者埃拉托斯特尼竟然想搞一个更大的事情——测量地球的周长!难道他要派遣皇家测量员围绕着地球走一圈吗?显然不是的!埃拉托斯特尼巧妙地通过观察塞因市(现今的埃及阿斯旺市)与亚历山大港之间的太阳光线倾斜角度的差别来断定,这两个城市之间的距离,应该是地球周长的1/50。

于是,埃拉托斯特尼找来了皇家测量员来测量两个城市之间的距离。显然与古希腊的前人们不同,古埃及的皇家测量员没有通过数自己的不熟来测量,而是以步伐均匀稳健而知名的骆驼这种生物。经过一段漫长沿着尼罗河的旅行,得到的结果是:两个城市之间的距离为个场(“场”指的是古希腊时期的运动场,因此“场”也是古希腊时期的长度单位,1个场约为.5米)。再一次的,这个结果展现出惊人的准确性!因为今天的我们已经知道,地球的真实周长为千米。埃拉斯托特你的计算误差仅有2%!

古希腊人在自己的文化中为几何学富裕了更加崇高的地位。对于身为古希腊伟大的哲学家柏拉图来说,想要成为哲学家,几何学是必经之路。据说,在柏拉图学院的正门上,可这这样的座右铭:“不习几何者不得入内。”

数字被发明出来,数学在不久之后也将面临学科分支的出现。在数学的领域,如逻辑学、算数学或者代数学,逐渐的趋于成熟,成为独当一面的独立学科。

在这所有的分支中,几何学迅速脱颖而出,吸引古典时期最伟大的先哲们的注意。正是因为几何学的出现,才成就了人类历史上第一批最伟大的数学之星,例如泰勒斯、毕达哥拉斯和阿基米德,他们的名字直到今天还出现在我们的课本中。

英文Geometry一词,是从希腊语演变而来的,其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光启翻译成“几何学”。依据大量实证研究,创造几何学的是埃及人,几何学因土地测量而产生。几何是研究形的科学,以人的视觉思维为主导培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。

相传四千年前,埃及的尼罗河每年洪水泛滥,总是把两岸的土地淹没,水退后,使土地的界线不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界,每年总要进行土地测量,因此,积累了许多测量土地方面的知识。从而产生了几何学的初步知识。

而对于这专业的土地测量人士来说,绳索往往是最初几何学的测量神器。对于土地测量员来说,绳索是直尺、圆规和三角尺。

作为直尺原理很简单:只要在固定的两点之间拉直绳索,你就能够得到一条直线。如果你想要一条带刻度的直尺,只需要在绳子上等距离地打上几个结就好了。至于用绳索做圆规,也不是什么难事儿,只需要固定绳子的一端,然后用另一端围着固定端转一圈,就得到了一个圆。当绳子有了刻度,你就能够轻松地控制这个圆的半径。

土地测量员们是如何将绳索制作成直角三角形的呢?

直角三角形中最出名的是边长为3:4:5的沟谷三角形。如果你在绳子上打出13个等距的结,将其长度进行12个等分,你就能得到一个边长单位分别为3、4和5的直角三角形。放佛奇迹般的存在,边长3和边长4的形成的角就是一个直角。

在公元前年左右,古巴比伦人已经画出了一个表格,掌握了能够画出直角三角形的边长数字。目前收藏在美国纽约哥伦比亚大学的普林顿号黏土板。上面战术了15组三角形边长数据。除了边长比为3:4:5的三角形之外,人们还发现了其他14个三角形,其中有一些相当复杂,比如65:72:97或者::。除了少数一些误值(计算或者誊写失误)之外,普林顿黏土板上的三角形完全是正确的:所有的三角形都是直角三角形!

如果想彻底的弄清楚古巴比伦的土地测量员们是从什么时候开始在测量土地时使用直角三角形知识的真的很难,但是可以肯定的是,在古巴比伦文明消失之后,这种测量方法依然流传了下来。在中世纪的时候,具有13个结的绳索也被称为“德鲁伊”之绳,依然是天主教教堂的建筑者们主要使用的几何工具之一。

泰勒斯定理

泰勒斯(约公元前年-公元前年),又译为泰利斯,公元前7至6世纪的古希腊时期的思想家、科学家、哲学家,希腊最早的哲学学派——米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人。希腊七贤之首,西方思想史上第一个有记载有名字留下来的思想家,被称为“科学和哲学之祖”。

在科学方面,泰勒斯曾利用日影来测量金字塔的高度,并准确地预测了公元前年发生的日蚀。数学上的泰勒斯定理以他命名。他对天文学亦有研究,确认了小熊座,被指出其有助于航海事业。同时,他是首个将一年的长度修定为日的希腊人。他亦曾估量太阳及月球的大小。

在一次前往埃及的旅行中,泰勒斯完成了被认为是他最伟大的成就的数学计算。相传,埃及法老雅赫摩斯二世向泰勒斯发出测量大金字塔的高度挑战。再次之前,所有参加这个挑战的古埃及学者都失败了。但泰勒斯接受了这个挑战,不仅完成了挑战,更是用了一种格外精妙的方法优雅的解决了这个问题。泰勒斯在地上垂直的插入一根小棍子,然后等到一天棍子阴影长度等于棍子自身高度的时刻。这一刻来临的时候,他测量了大金字塔阴影的长度,而这一长度就是大金字塔的高度。如此叹为观止!

根据莎草纸的记载,古埃及的先人们绝对非常清楚如何计算金字塔的高度,而且他们算出金字塔高度的时间,比泰勒斯抵达埃及早了多年!所以这则故事的真相是什么呢?泰勒斯真的测量出金字塔的高度了吗?他是第一个使用“阴影测量法”的人吗?或许我们无从得知,但是轶事中泰勒斯所使用吉和方法是非常正确的,不管是用来测量大金字塔的高度,还是用这种方式测量哪个物体,都不会遮掩“阴影测量法”的丝毫智慧光辉。这样方法衍生出了一种特殊的情况,其具有的属性被我们今天称之为“泰勒斯定理”。

泰勒斯还发现了许多其他的数学结论:

(1)一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分。

(2)等腰三角形的两个底角相等。

(3)任意两条相交线,对顶角度数相等。

(4)如果一个三角形的三个顶点落在一个圆周之上,并且其中一条边心穿过圆心,那么这个三角形必然是直角三角形。(这一条有的时候也被称为“泰勒斯定理”。)

泰勒斯在米利都收了好多弟子,其中最著名的两人是阿那克西美尼和阿那克西曼德。然后阿那克西曼德也有了自己的弟子,在他的弟子中有个名叫毕达哥拉斯的人。这个名字与人类有史以来最著名的定理之一联系在了一起。

毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯(约公元前年-约公元前年)古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)的贵族家庭,自幼聪明好学,曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。

因为向往东方的智慧,经过万水千山,游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——巴比伦和印度,以及埃及(有争议),吸收了美索不达米亚文明和印度文明的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想,并和他的信徒们组成了一个所谓“毕达哥拉斯学派”的政治和宗教团体。

毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点;因为他容许妇女(当然是贵族妇女而非奴隶女婢)来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利,因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。

毕达哥拉斯定理(中国称为“勾股定理”):给定一个直角三角形,则该直角三角形斜边的平方,等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的;如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,则该三角形为直角三角形。

“定理”与“公理”

与此同时,我们在上述两个古代先哲的故事中发现了一个奇怪的此——定理。什么是定理?在数学中通过一定论据而证明为正确的结论,就是定理。它可以文字书写或者口口相传的方式流传开来。如边长分别为3:4:5的三角形都是直角三角形。

根据这个定义,古美索不达米亚人、古埃及人以及古代中国人同样也发明了一些定理。然后,从泰勒斯开始,古希腊人给了“定理”一个新的维度。对于他们来说,一个定理绝不仅仅是陈述一个数学事实,它必须被用尽可能普适的方式概括出来或写出公式,并且必须伴有使之得以成立的证明过程。

拿泰勒斯提出的几何特性之一:一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分。毫无疑问,早在很久很久以前,古埃及和古巴比伦的学者就知道这件事了。毕竟对于泰勒斯这样伟大的学者来说,提出这样的陈述,未免有些让人感觉失望。毕竟这是显而易见的。为什么一直要等到公元前6世纪,才公布出来一个看上去如此平庸的断言。

我们必须清楚一点事,那就是泰勒斯之所以提出的陈述如此了不起,不仅仅是因为他的内容,而是他的表达方式。泰勒斯敢说所有的圆都是这样,毫无例外!不论你给我一个多么巨大或者渺小的圆。也不论这个圆它是水平还是垂直的放置等等,对泰勒斯来说都无所谓。因为他能够确定,这个圆的直径能将它分成两个相等的部分!

泰勒斯跨越了这条鸿沟!通过这样的定理,泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象数学对象的地位。从此之后,数学真理可以用简洁又概括的方式表述,无论对于所包含的哪一种个别情况来说,都是城里的。自此,古希腊人给这些表述起了一个名字,叫作“定理”。

在庞大的数学体系发展过程中,“定理”与“公理”经常被混淆在一起,那么什么是“公理”呢?只需要翻阅此书的第一卷,你就自然而然的明了。



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