北师大版六年级上册数学知识点归纳
第一单元圆
圆概念总结
1.圆的定义：圆是由曲线围成的平面封闭图形。
2.将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。圆内最长的线段是直径。
6.在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：d＝２rr＝Object:word/embeddings/oleObject1.bind
用文字表示为：半径=直径÷2直径=半径×2
车轮为什么是圆的？答：因为圆心到圆上各点的距离相等，所以圆在滚动时，圆心在一条直线上运动，这样的车轮运行才稳定。
9.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。或者，圆一周的长度就是圆的周长。
10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母Object:word/embeddings/oleObject2.bin表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取Object:word/embeddings/oleObject3.binObject:word/embeddings/oleObject4.bin3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11．圆的周长公式：C=πd=2πr
圆周长=Object:word/embeddings/oleObject5.bin×直径圆周长=Object:word/embeddings/oleObject6.bin×半径×2
12.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13.把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形或长方形。拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半(πr），高相当于圆的半径（r）；长方形的长相当于圆周长的一半(πr），宽相当于圆的半径（r）。
如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径，那么圆的面积公式：S＝πr2
14.圆的面积公式：Ｓ＝Object:word/embeddings/oleObject7.binｒ 或者S=Object:word/embeddings/oleObject8.bin（dObject:word/embeddings/oleObject9.bin2）或者S=Object:word/embeddings/oleObject10.bin（CObject:word/embeddings/oleObject11.binObject:word/embeddings/oleObject12.binObject:word/embeddings/oleObject13.bin2）
15.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
16.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，环形的面积是S=Object:word/embeddings/oleObject14.binR－Object:word/embeddings/oleObject15.binｒ 或
S=Object:word/embeddings/oleObject16.bin（R－ｒ）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
19.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝Object:word/embeddings/oleObject17.bindObject:word/embeddings/oleObject18.bin2＋d 或 Ｃ＝Object:word/embeddings/oleObject19.binr＋2r
圆周长的一半=Object:word/embeddings/oleObject20.binr
21.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
22.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４：９。
圆周长和直径的比是Object:word/embeddings/oleObject24.bin：1，比值是Object:word/embeddings/oleObject25.bin。
圆周长和半径的比是2Object:word/embeddings/oleObject26.bin：1，比值是2Object:word/embeddings/oleObject27.bin。
23.当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２Object:word/embeddings/oleObject28.binａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加Object:word/embeddings/oleObject29.binａ厘米。
24.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小
25.周长相等时,圆的面积最大；面积相等时,圆的周长最小。考试一般正方形、长方形和圆：
①它们周长相等时，圆的面积最大，正方形面积居中，长方形的面积最小；
26.一个圆的半径扩大（缩小）几倍，直径就扩大（缩小）几倍，周长也扩大（缩小）几倍，面积就扩大（缩小）几的平方倍，但圆周率永远不变。
27.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。对称轴是一条直线。
28.有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
30.几个公式：
31.永远记住要带单位，周长是（例如：cm），面积是平方（例如：cm2），体积是立方（例如：cm3）。
32.圆的周长：
3.14×1＝3..14×2＝6.28
3.14×3＝9..14×4＝12.56
3.14×5＝15.73.14×6＝18.84
3.14×7＝21..14×8＝25.12
3.14×9＝28..14×10＝31.4
33.圆的面积：
3.14×12＝3..14×22＝12.56
3.14×32＝28..14×42＝50.24
3.14×52＝78.53.14×62＝.04
3.14×72＝..14×82＝.96
3.14×92＝..14×＝
第二单元分数混合运算
1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
2.解决问题
（1）用分数运算解决“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的实际问题，方法是：
第①种方法：可以先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。
第②种方法：也可以用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。
（2）“已知甲与乙的和，其中甲占和的几分之几，求乙数是多少？”
第①种方法：明确谁占单位“1”的几分之几，先求出甲数，再用单位“1”减去甲数，求出乙数。
第②种方法：先用单位“1”减去已知甲数所占和的几分之几，即得未知乙数所占和的几分之几，再求出乙数。
（3）用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤：
①要找准单位“1”。
②确定好其他量和单位“1”的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式。
③设未知量为X，根据等量关系式，列出方程。
④解答方程。
（4）要记住以下几种算术解法解应用题：
①对应数量÷对应分率=单位“1”的量
②求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
③已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用列方程解答。
3.要记住以下的解方程定律：加数+加数=和；加数=和–另一个加数。
被减数–减数=差；被减数=差+减数；减数=被减数–差。
因数×因数=积；因数=积÷另一个因数。
被除数÷除数=商；被除数=商×除数；除数=被除数÷商。
4.运算定律和性质
加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:a×b=b×a乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
减法性质:a-b-c=a-(b+c)除法性质:a÷b÷c=a÷(b×c)
5.方程形如：
（1）X﹢a=bX=b－a（2）X－a=bX=b+a
（3）a－X=bX=a－b（4）aX=bX=b÷a
（5）X÷a=bX=a×b（6）a÷X=bX=a÷b
（7）aX﹢b=cX=(c－b)÷a（8）aX－b=cX=（c﹢b）÷a
（9）a—bX=cX=(a—c)÷b(10)aX＋bX=cX=c÷(a＋b)
(11)aX—bX=cX=c÷(a—b)(12)aX＋b=cX＋dX=(d—b)÷(a—c)
6.绘制简单线段图的方法：
分数应用题，分两种类型，一种是知道单位“1”的量用乘法，另一种是求单位“1”的量，用除法。这两种类型应用题的数量关系可以分成三种:(一)一种量是另一种量的几分之几。(二)一种量比另一种量多几分之几。(三)一种量比另一种量少几分之几。绘制时关键处理好量与量之间的关系，在审题确定单位“1”的量。绘制步骤：
①首先用线段表示出这个单位“1”的量，画在最上面，用直尺画。
②分率的分母是几就把单位“1”的量平均分成几份，用直尺画出平均的等分。标出相关的量。
③再绘制与单位“1”有关的量，根据实际是上面的三种关系中的哪一种再画。标出相关的量。
④问题所求要标出“？”号和单位。
第三单元观察物体
1.观察物体一般从正面、上面、左面或右面来观察。
2.同样高度的物体，在同一光源的照射下，离光源越近，这个物体的影子就越短；离光源越远，这个物体的影子就越长。
3.观察点越高，观察到的范围越广。
4.确定观察的范围：
1）先找到观察点、障碍点；
2）连接观察点和障碍点后确定观察的范围。
5.看不到的地方称作盲区。
第四单元百分数的认识
1.百分数的意义
像84%，28%，2.5%……这样的数叫作百分数，表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫百分比、百分率。
百分数只表示两个数之间的关系，不能带单位名称，它表示的是一个比值。
2.百分数的读法和写法
①百分数的读法：百分数的读法与分数的读法相同，但百分数读作“百分之几”，不读作“一百分之几”。
②百分数的写法：百分数相当于分母是的分数，但百分数不能写成分数的形式，而是在分子的后面加上百分号（%）来表示。
3.百分数和分数的区别
①意义不同
百分数只表示一个数是另一个数的百分之几。它只能表示两个数之间的倍数关系，并不是表示某一个具体数量，所以百分数不能带单位。分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示一定的数量，所以分数表示数量时可以带单位。
②写法不同
百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
分数的最后结果中的分子只能是整数，计算结果不是最简分数的要化成最简分数。
百分数的最后结果中的分子可以是整数，也可以是小数。如：18%，16.7%，%
4.小数、分数、百分数的互化
①把小数化成百分数的方法：
先把小数点向右移动两位，再在数的后面直接添上“%”，如0.25=25%
②把分数化成百分数的方法：
可以先把分数化成分母是的分数，再改写成百分数，如Object:word/embeddings/oleObject30.bin，也可以把分数化为小数，再化成百分数，如Object:word/embeddings/oleObject31.bin=0.6=60%（除不尽的保留三位小数）。
③把百分数化成小数的方法：
先把“%”去掉，同时把小数点向左移动两位，当移动的位数不够时，要添0补位。
④把百分数化成分数的方法：
先把百分数改写成分母是的分数，能约分的要约分成最简分数。当百分数的分子是小数时，要要根据分数的基本性质把分子和分母同时扩大相同的倍数，把分子变成整数后能约分的再约分。如：Object:word/embeddings/oleObject32.bin
5.求一个数是另一个数的百分之几的方法
求一个数是另一个数的百分之几的方法与求一个数是另一个数的几分之几的方法相同，就是用这个数除以另一个数，除不尽时通常保留三位小数，然后把小数点向右移动两位，再在数的后面加上%。
6.求百分率的方法：
百分率一般是指部分占总体的百分之几。如合格率就是合格的产品数量占产品数量的百分之几。及格率就是及格人数占总人数的百分之几。结果用百分数的形式表示。
常考的几种百分率：
出勤率＝出勤人数÷应出勤人数×％
达标率＝达标人数÷总人数×％
发芽率＝发芽的种子数÷种子的总数×％
出粉率＝面粉的质量÷小麦的质量×％
及格率＝考试及格的人数÷参加考试的总人数×％
成活率＝成活树木的量÷树木总量×％
含盐（糖）率＝盐（糖）的质量÷盐水（糖水）×％
合格率＝合格产品数量÷抽查产品数量×％
7.求一个数的百分之几是多少的实际问题的解法
与求一个数的几分之几是多少的问题的解答方法相同，都是用乘法来计算，用这个数乘百分之几。计算时可以把这个数化成小数来计算，也可以把这个数化成分数来计算，要根据具体情况分析，选择简便的计算方法。
第五单元数据处理
1.扇形统计图：用整个圆表示总数，用圆内大小不同的扇形表示各部分数量占总数的百分比。
2.三种统计图特点：
条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
折线统计图：不仅能表示出数量的多少，还能地表示出数量的增减变化情况。
扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
第六单元比的认识
（一）比的基本概念
1.两个数相除又叫做这两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。2.比值通常用分数、小数和整数表示。3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以同一个不为零得数，比值的大小不变。
4.分数的基本性质：数的分子和分母同时乘或者除以同一个不为零得数，分数值不变。
乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
5.商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时乘或者除以同一个不为零得数，商不变。
6.小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
7.同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。8.同分数比较，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
9.除法的除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项不能为0。
（二）求比值
1.求比值：用比的前项除以比的后项。最后结果是数值。
（三）化简比
1.化简比：根据比的基本性质，把比化成最简的整数比，叫做化简比。
2.最简整数比：比的前项和后项是互质数。公因数只有1的两个数叫做互质数。
3.用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，再把分数比值改成比（最终是比的形式）。
4.比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。
（四）比的应用
1.比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？
题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人女生：5×7=35人。
2.比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生：女生：5×7=35人。全班：25+35=60人
3.比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？
4.要求量=已知量×Object:word/embeddings/oleObject33.bin
5.比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。
长=周长÷2×Object:word/embeddings/oleObject34.bin宽=周长÷2×Object:word/embeddings/oleObject35.bin 面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积
长=周长÷４×Object:word/embeddings/oleObject36.bin宽=周长÷４×Object:word/embeddings/oleObject37.bin
高=周长÷４×Object:word/embeddings/oleObject38.bin 体积＝长×宽×高
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
１８０×Object:word/embeddings/oleObject39.bin１８０×Object:word/embeddings/oleObject40.bin１８０×Object:word/embeddings/oleObject41.bin
（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×Object:word/embeddings/oleObject42.bin周长×Object:word/embeddings/oleObject43.bin周长×Object:word/embeddings/oleObject44.bin
第七单元 百分数的应用
（一）百分数的基本概念
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于，小于或等于。
（二）百分数应用题
1、四个公式：
①谁是谁的几分之几？②谁是谁的百分之几？
③谁比谁多百分之几？④谁比谁少百分之几？
2.两个公式：
①增加量（减少量）＝原来的量×增加的百分数（减少的百分数）
②现在的量＝原来的量±增加量（减少量）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道45，增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：确定单位“1”水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3.45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45，增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：确定单位“1”水：45立方厘米
第二步：增加的部分：5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4.水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。增加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米
第二步：增加的部分：5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
5.“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
6.与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
利息的计算
1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
3．利率：利息与本金的比值叫做利率。
4.本息和：本金和利息的和。
5.公式：利息=本金×利率×时间
本息和=本金+利息
比赛场次：
六⑴班10名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间要进行一场比赛。一共要比赛多少场？
列表找规律画图找规律
规范解答：
方法一：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（场）方法二：（10-1）×10÷2=45（场）
答：一共要比赛45场。
单循环（每两人之间要进行一场比赛）比赛场次规律：有n人参加比赛，比赛场次就是1+2+3+4+5+……+（n-1）=n×(n-1)÷2
