AQUARK
扯闲篇儿
几个月前，我写了一篇《尺规作图有什么作不出来的》，里面讨论了什么样的图形仅用直尺和圆规就能作出来，什么样的不能。那如果我们再去掉一种工具呢？圆上任意一点到圆心的距离相等，我们要依赖这一性质来建立等量关系，去掉圆规不太好，今天先把直尺去掉吧
01
用圆规可以干什么
把自己六等分
已知一个⊙O，把它的半径作为单位1
在圆上取一点A，以O为圆心，AO长度为半径作圆。由《几何原本》的命题4.15可知，⊙A在⊙O截得的弧占⊙O的1/6。那么根据命题3.28＆4.1，我们可以用这段弧来将⊙O六等分
接下来，我们还能干什么？
试试把圆四等分呢？
02
如何把一个圆四等分
在不用直线的情况下
尺规作图的情况下，只要作两条互相垂直的直径，就能将圆四等分
现在直线不能做了。我们就像上面一样，用特定长度的弦在圆上截出等分点（似乎没有别的办法），我们需要多长的弦呢
以上面的图为例，弧BC为⊙O的?
由勾股定理可证：
∵⊙O中，BO=CO=1，且BO⊥CO
∴BC=√(BO2+CO2）=√(1+1)=√2
既然将圆的半径定为单位1，那么我们只要作出两个点，使其间距为√2，再以这两点间距为半径，在圆上截弧就可以了
03
如何找到根号二
还得用到勾股定理
先看看之前被我们六等分的圆
通过穷举法（就是每个都算一遍）可知，
点之间的距离只有三种情况：
直径：比如BE，显然BE=2
半径/弦：比如BC，显然BC=1
相隔两点的间距：比如CE
由命题3.31可知，∠BCE=90°
又由勾股定理可得，CE=√3
这样我们就有了三个数，1、2、√3
算一下，发现(√2)2+12=(√3)2
这是一对勾股数！
那我们分别以B,E为圆心，EC,BD为半径作圆，交点记作点H,G
由命题1.11可知，
此时如果把HG和BE连上，它们是互相垂直的
而OE=r⊙O=1，EH=r⊙F=√3
∴点O，H间距离为√2
接着，以点B（点E也行）为圆心，OH间距离为半径画圆，交⊙O于点J、K
点B，J，E，K即为⊙O的四等分点
证毕
只用圆规还能干什么呢，我们下回再说。。
参考资料：
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